ال الموجات الموقوفه تظهر عندما تنتقل موجتان متطابقتان عبر نفس الوسط في اتجاهين متعاكسين وتتداخلان بشكل مستقر. بدلًا من رؤية قمم متقدمة، يبدو الشكل ثابتًا: بعض النقاط بالكاد تتحرك بينما تهتز نقاط أخرى بأقصى شدة. تنطبق هذه الفكرة على الحبال وأعمدة الهواء وخطوط النقلوهو أمر أساسي لفهم الآلات الموسيقية، وصوتيات الغرفة، والترددات الراديوية.
وفي السطور التالية نستعرضها بالتفصيل التعريف والمعادلات والعقد والعقد المضادةبالإضافة إلى كيفية تحديد الأطوال الموجية المسموح بها في الأنظمة المغلقة، ستتعلم ما يحدث للطاقة ولماذا يُنتج عدم تطابق المعاوقة موجات ثابتة في كابلات الراديو. ستشاهد أيضًا أمثلة عملية والمشتقات المفيدة التي تظهر غالبًا في الامتحانات.
مفهوم الموجة الدائمة
الموجة الدائمة هي نتيجة تراكب من موجتين توافقيتين متطابقتين تنتشران في اتجاهين متعاكسين عبر نفس الوسط. وهما تشتركان السعة والتردد والطول الموجيوتختلف فقط في اتجاه الانتشار؛ وعندما يتم دمجها بشكل مستمر، فإنها تترك نمطًا ثابتًا من أقصى اهتزازات وأدنى اهتزازات.
في الوسائط غير المعوقة، تتصرف التذبذبات على النحو التالي: موجات متنقلة التي تحمل الطاقة. ومع ذلك، في الوسائط المغلقة أو ذات الحدود التي تعكس الموجة، فإن الانعكاسات المتكررة تؤدي إلى تدخل موجات ثابتة تُثبّت العقد والعقد المضادة. لا تُولّد جميع البيئات موجات ثابتة من تلقاء نفسها؛ وسيط مع انعكاسات محددة جيدًا، مثل حبل مربوط، أو أنبوب هواء، أو خط نقل.
عندما يزيد المُثير التردد تدريجيًا على وتر مشدود، يمكن للتداخل أن ينظم نفسه بطريقة تجعل ملف تعريف مستقر مع عقدة باطنية واحدة أو أكثر وعقد ثابتة. إنها ظاهرة لافتة للنظر، لأنه على عكس الموجات المنتشرة، لا يوجد هنا تقدم واضح للقمم أو القيعان، فقط اهتزازات محلية السعة المكانية يعتمد على الموقف.
معادلة الموجة الدائمة واشتقاقها
إذا أضفنا موجتين مستعرضتين توافقيتين بسعة A ورقم الموجة ky وتردد زاوي ω تتحركان في اتجاهين متعاكسين، فسيكون الوصف النموذجي هو: y1 = A·sin(kx − ωt) y y2 = A·sin(kx + ωt)بإضافة كليهما واستخدام المتطابقة المثلثية sin u + sin v = 2·sin((u+v)/2)·cos((u−v)/2)، تكون النتيجة هي y(x,t) = 2A·sin(kx)·cos(ωt).
وتوضح هذه النتيجة التبعية المكانية والزمانية ينفصلونيتحكم العامل sin(kx) في كيفية تغير السعة بتغير الموضع، ويمثل cos(ωt) التذبذب مع الزمن. وبالتالي، تكون السعة المحلية AT(x) = 2A·sin(kx)، والتي تتغير من نقطة إلى أخرى وتصبح صفرًا عند العقد.
المكافئ المستخدم عادة هو y(x,t) = 2A·cos(kx)·sin(ωt)يمثل كلا التعبيرين الموجات الدائمة، ويعتمد الاختيار على شروط الحدودإذا فرض الحد الأقصى عند x = 0 قيمة قصوى، فإن صيغة جيب التمام هي الأفضل؛ أما إذا فرض صفرًا، فإن صيغة الجيب هي الأنسب. في الانعكاسات مع انعكاس الطور، يحدث تغير بمقدار π راديان في طور الموجة المنعكسة، مما يُغير النتائج إذا وُجدت. بطن o نودو في أقصى الحدود.
بالنسبة لأولئك الذين يستمتعون بالتحقق، فإن تطبيق الهوية المذكورة أعلاه صراحةً على y1 وy2 يؤدي إلى نفس النتيجة في خطوتين: أولاً، التجميع في 2A·sin(kx)·cos(ωt)، ثم التعرف على أن السعة المكانية يتم تعديله بواسطة sin(kx). الرسالة الفيزيائية هي أن كل نقطة في الوسط تهتز بنفس التردد، ولكن المساحة المتاحة لهذا التغيير الاهتزازي مع x.
العقد والبطون والمسافات المميزة
في موجة ثابتة من النوع y(x,t) = 2A·sin(kx)·cos(ωt)، العقد هذه هي النقاط التي تكون فيها السعة صفرًا لجميع قيم t. يحدث هذا عندما تكون sin(kx) = 0، أي عندما kx = 0، π، 2π، …، nπ، حيث n عدد صحيح. بما أن k = 2π/λ، فإن ذلك يعني أن x = n·(λ/2)وبالتالي، تظهر العقد كل نصف طول موجي من الأصل.
الكثير البطون أو تتوافق العقد العكسية مع أقصى السعة، عندما |sin(kx)| = 1. يحدث هذا لـ kx = (2n+1)·π/2، مع عدد صحيح n؛ استبدال k = 2π/λ ينتج x = (2n+1)·λ/4لذلك، تقع العقد المضادة بالضبط في منتصف المسافة بين كل زوج من العقد المتتالية.
إذا عملنا بالشكل البديل y(x,t) = 2A·cos(kx)·sin(ωt)، فإن النمط ينعكس: يوجد البطن عند x = 0 (لأن cos 0 = 1) وتتحرك العقد إلى مواضع حيث cos(kx) = 0، أي kx = (2n+1)·π/2عادة ما يتم تحديد هذا الاختيار من خلال طبيعة الغاية التي يعكسها: الغاية الثابتة تفرض إزاحة صفرية والشرط الحدودي الحر يفرض قوة صفرية، مما يغير نوع الشرط الحدودي.
من حيث المسافات، بين عقدتين متتاليتين هناك بالضبط λ / 2ونفس الشيء بين عقدتين عكسيتين متتاليتين. المسافة بين العقدة وأقرب عقدة عكسية هي λ / 4هذه العلاقات الهندسية مفيدة جدًا لتحديد الأنماط في الصور أو الرسوم المتحركة ولحل المشكلات مشاكل سريعة.
الوسائط المفتوحة والوسائط المغلقة وظروف الحدود
في بيئة مفتوحة، وبدون تفكير، تتقدم الطاقة وما لدينا هو موجات متنقلةلكي تتشكل الموجات الثابتة، هناك حاجة إلى حدود تعكس الموجة وتخلق التدخل المستمرتشمل الأمثلة النموذجية السلاسل المثبتة في أحد الطرفين أو كليهما، وأعمدة الهواء في الأنابيب المفتوحة أو شبه المفتوحة، والموجهات الموجية حيث تواجه الموجة الكهرومغناطيسية عدم تطابق. مقاومة.
تحدد شروط الحدود ما إذا كان هناك حدود في النهاية. نودو o بطنعند طرف ثابت من الوتر، تكون الإزاحة صفرًا طوال الزمن t، لذا لا بد من وجود عقدة هناك. أما عند الطرف الحر، فلا توجد قوة عرضية، ويمكن أن تكون الإزاحة في أقصى حد لها، مما يُكوّن عقدة مضادة. عند انعكاس الموجة، مع عكس الطور (تغيير π)، يعني هذا الانعكاس أن الحد الأقصى السابق يُصبح الآن أدنى، والعكس صحيح.
الأوضاع العادية في الحبل المثبت من كلا الطرفين
دعونا نفكر في سلسلة بطول L مع س = 0 y x = L ثابت. هاتان النقطتان عقدتان. بما أن العقدتين مفصولتان بـ λ/2، يجب أن يستوعب الطول L عددًا صحيحًا من أنصاف الأطوال: ن·(λ/2) = ل، مع n = 1، 2، 3، … إذا أطلقنا على الطول الموجي المسموح به λn، إذن λn = 2L / nليست كل الأطوال الموجية صالحة، فقط تلك التي تلبي هذه العلاقة، لذا فهي مُكمّم.
من خلال فرض العلاقة بين السرعة والتردد وطول الموجة، v = λ·f، وبما أن السرعة v تعتمد على الوسط، الترددات المسموح بها على الحبل هم fn = n·v / (2L)تُعرف هذه السلسلة (n الطبيعية) باسم سلسلة التوافقياتحيث f1 = v/(2L) هو التردد الأساسي، وf2 = 2v/(2L) هو التوافقي الثاني، وهكذا.
عادة ما يتم التعبير عن سرعة الانتشار في وتر مشدود كدالة لـ الجهد T والكثافة الخطية μ حيث v = √(T/μ). مع زيادة T، تزداد v وتتغير الترددات الطبيعية؛ ومع زيادة μ، تتناقص v. وهذا يتوافق مع التجربة القائلة بأن حبال أكثر إحكامًا أو أخف وزنًا أنها تهتز بترددات أعلى.
هناك طريقة أخرى لرؤية ذلك من خلال البدء من حقيقة أنه إذا كان x = L و λ = λn، فإن L = n·(λn/2)؛ وعند حلها، تظهر مرة أخرى λn = 2L/nفي الوضع n يوجد n نصف موجة مُجهزة للوتر، وبالتالي، في الأرحام موزعة بين الطرفين الثابتين اللذين يشكلان العقد.
تفسير الطاقة: أين تذهب الطاقة؟
على عكس الموجة المتنقلة، لا يوجد في الموجة الدائمة تدفق الطاقة الصافي على طول الوسط. العقد، التي تبقى ساكنة، تعيق النقل، وتُحصر الطاقة بينها. عند العقد المضادة، حيث يصل الإزاحة إلى أقصى حد لها، الطاقة التذبذبية تكون أكبر عند العقد، بينما تتلاشى عندها. الطاقة الكلية تساوي مجموع الموجتين المتداخلتين.
الموجات الدائمة في خطوط الراديو والنقل: SWR
في الكابلات والأدلة التي تحمل إشارات التردد اللاسلكي، يؤدي عدم تطابق المعاوقة إلى تأملاتيُنتج تراكب الموجات الواردة والمنعكسة موجة ثابتة من الجهد والتيار. لقياسها، يُستخدم ما يلي: نسبة الموجة الدائمة أو ROE، الذي يقيس نسبة الموجة المنعكسة إلى الموجة الساقطة.
عائد حقوق الملكية 1,5 إنه ينطوي على حوالي 4% من الطاقة المنعكسة. من المتعارف عليه أن هذا المستوى هو الحد الأقصى المسموح به في جهاز إرسال ترانزستور بقدرة 100 واط دون خطر التلف الناتج عن عودة الطاقة إلى مرحلة الخرج. أجهزة الإرسال ذات صمامات عادةً ما تكون الأنابيب المفرغة أقل حساسية لهذه المشكلة، ولكن التوصية العامة هي ضبط المعاوقة لتقليل نسبة الموجة الدائمة.
الصوتيات: رنين الغرفة والأوضاع الطبيعية
عندما يتطابق أبعاد الغرفة مع الطول الموجي من الصوت (المتعلق بـ سرعة الصوت)، يدخل الغلاف في حالة رنين وتظهر أوضاع ثابتة. والنتيجة هي أن بعض المواضع تعاني ألغاءات (تداخل هدام، بالكاد يُسمع) وأخرى تُظهر تعزيزًا (تداخل بناء، يتضاعف السعة). في التصورات المُبسّطة، قد يبدو الشكل بعيدًا كل البعد عن الجيب الأنفي، ويتخذ مظهرًا أكثر جيبية. مسنن، مع مناطق مسطحة وقمم مميزة.
غالبًا ما تُسمى هذه الأنماط المكانية أوضاع الغرفة أو النغمات الذاتية. معرفتها تساعد على تحديد المتحدثين والمستمعين، وتحديد مكانهم. المعالجة الصوتية وتجنب تراكم الطاقة في الجهير. الظاهرة هي نفسها مع الوتر: أبعاد العلبة تُحدد الأطوال الموجية (وبالتالي الترددات) مسموح.
كيفية تحديد موقع العقد والعقد المضادة من ky λ
من التعبير y(x,t) = 2A·sin(kx)·cos(ωt)، يتم تثبيت العقد بـ sin(kx) = 0هذا يعطي kx = 0، π، 2π، …، nπ. استبدال ك = 2π/πنحصل على x = n·λ/2. بالنسبة للعقد العكسية، نحتاج إلى sin(kx) = ±1، أي kx = (2n+1)·π/2، ومرة أخرى مع k = 2π/λ نحصل على x = (2n+1)·λ/4. هذه تعابير واضحة تسمح لنا بتحديد الحد الأقصى والحد الأدنى فورا.
إذا بدأنا بدلاً من ذلك من y(x,t) = 2A·cos(kx)·sin(ωt)، يتغير الموقع: يوجد أقصى عند x = 0، والعقد عند kx = (2n+1)·π/2 والعقد العكسية عند kx = nπ. اختيار أحد الشكلين مسألة مرحلة فرضت عن طريق التأمل، والمعنى المادي هو نفسه.
أمثلة في الحبل وفي الأنابيب
إذا قمت بهز خيط ممسوك من كلا الطرفين برفق وزادت التردد تدريجيًا، فسيظهر نمط ذو البطن المركزي وعقد في النهايات. ينشأ التوافقان الثاني والثالث بشكل أكثر تكرارًا، مع عقدتين وثلاث عقد على التوالي. هذه هي الطريقة الأكثر مباشرة لتوليد ومراقبة الموجات الموقوفه في المختبر أو في الفصل الدراسي.
يمكن أيضًا رؤية أنماط حادة باستخدام زنبرك مرن. يُثبّت أحد الطرفين بينما يُثار الطرف الآخر حتى يجد تردد الرنين الذي يُفعّل الوضع المطلوب. يزداد عدد العقد مع زيادة التردد، وتُعدّل مواقع العقد المضادة والعقد تبعًا لذلك. قواعد λ/2 و λ/4 المذكورة بالفعل.
في الصوتيات، يُستخدم النظام الكلاسيكي بأنبوب مفتوح من أحد طرفيه ومغلق من الطرف الآخر. باستخدام مكبر صوت متصل بمولد، يُحفَّز عمود الهواء حتى يتم الحصول على الصوت المطلوب. أوضاع الأنبوب المفتوح والمغلقباستخدام ميكروفون أو مستشعر، يمكن رسم خريطة لتوزيع الكثافة، وتحديد العقد والعقد المضادة، على سبيل المثال في التوافقي الثالث.
هدف وأساس الممارسة الصفية
الهدف الأساسي من ممارسة المدرسة في هذا الموضوع هو تعزيز مفهوم الموجة الدائمة المستعرضة وتعلم كيفية تمييز الأنماط النمطية. الهدف هو أن يشاهد الطلاب العقد الثابتة، والبطون المهتزة، وكيف تتغير مع التردد والتوتر.
أساس نظري موجز: هزة واحدة في أحد طرفي حبل طويل جدًا تولد موجة المسافر لا يعود. لكن في الواقع، نعمل مع وسائط محدودة: تنعكس الموجات عند الأطراف، مع أو بدون انعكاس الطور، حسب نوع التثبيت، ويخلق التراكب الحركة. يبدو بلا حراك المميزات: نقاط لا تتحرك وأخرى تتذبذب بسعة كبيرة.
المواد اللازمة وتعليمات التجميع
لإجراء عرض توضيحي بسيط، ستحتاج إلى: حبل أو زنبرك مرن، دعامة تثبت طرفًا واحدًا على الأقل، ونظام لإثارة الطرف الآخر بطريقة متحكم فيها (يمكن أن يكون يدويًا أو عن طريق التحكم اليدوي). مولد الإشارة متصلة بمحرك صغير) وإذا كانت هناك حاجة إلى تحديد الكمية، عناصر قياس أساسية مثل شريط القياس أو مستشعر الصوت في حالة الأنابيب.
العملية بسيطة: يُثبّت أحد الطرفين، ويزداد تردد الإثارة تدريجيًا حتى يتخذ النمط شكل وضع مستقر. عند الترددات المنخفضة، يظهر انعكاس واحد، ومع زيادة التردد، تظهر عدة انعكاسات. الأوضاع ذات العقد الأكثر وباطنها. تعديل الشد يُغيّر السرعة، وبالتالي مجموعة الترددات الرنانة.
الخطوات العملية النموذجية
من التقنيات الشائعة إبقاء أحد طرفي الوتر ثابتًا وتحريك الطرف الآخر بوتيرة ثابتة. إذا كانت الوتيرة بطيئة جدًا، فسيبدو الأمر ببساطة نصف موجة مع عقدة مضادة مركزية؛ ومع ازدياد التردد، يمر الوتر بالوضعين الثاني والثالث. وهناك طريقة أخرى تتمثل في استخدام مذبذب صغير متصل بلوحة مهتزة. يتردد صداه باستخدام الإشارة من المولد، وعن طريق تغيير شد الخيط، نحصل على أطوال موجية مختلفة.
في الأنبوب المفتوح والمغلق، يُجرى شيء مشابه: يُغيّر تردد الإثارة بمكبر صوت، وتُسجَّل مستويات الشدة القصوى والدنيا على طول الأنبوب. مع الممارسة، يسهل تحديد مواقع العقد والأرحام للحصول على توافقية محددة وربطها بـ λ/4 و λ/2 وفقًا لنوع المؤثر النهائي.
العلاقة بين λ و ky المواضع الخاصة
دعونا نتذكر الاختصارات الأكثر فائدة: إذا ك = 2π/π، إذن بالنسبة للأرحام kx = (2n+1)·π/2، من حيث x = (2n+1)·λ/4؛ وبالنسبة للعقد kx = n·π، حيث x = n·λ/2من المستحسن دائمًا التحقق من شكل الموجة الدائمة المستخدمة (الجيب أو جيب التمام) وما شروط الحدود إنهم يمليون التطرف، حتى لا يرتكبوا خطأ في النمط.
التطبيقات والملاحظات الإضافية
الموجات الدائمة ضرورية لإنتاج الجيتار أو الكمان أو الساكسفون النوتات الموسيقية مستقرة. في الهندسة المدنية، يتم أخذها في الاعتبار عند تصميم الجسور والمباني الشاهقة لأن الرياح يمكن أن تثير الأوضاع الرنانة خطير إذا تُرك دون مراقبة. في مجال الاتصالات، تُراقب قواعد الاشتباك بأدوات خاصة لمنع daños في أجهزة الإرسال.
ما هو السؤال الذي يُسأل عادةً في امتحانات القبول بالجامعة؟
في كثير من الأحيان سيُطلب منك تحديد العقد والعقد المضادة في الرسم التخطيطي، وحساب المسافة بين النقاط القيم المميزة أو الحصول على λn وfn لسلسلة بطول L بسرعة معروفة v. لا تنس أن fn = n·v/(2L)، وأن العقد موجودة عند x = n·λ/2، وأن بين العقدة والعقدة المضادة يوجد λ / 4إذا تغيرت حالة نقطة النهاية، تحقق مما إذا كان من الأفضل استخدام الجيب أو جيب التمام.
يمكنك الآن التعرف على واحد موجة ثابتة، اكتب معادلته في النموذج المناسب للمشكلة، وحدد العقد والعقد المضادة باستخدام ky λ، وفهم الأطوال الموجية والترددات الممكنة في سلسلة أو في غرفة، وتقييم التأثيرات العملية المتنوعة مثل ضبط العائد على حقوق الملكية في الراديو أو التصحيح الصوتي لغرفة الاستماع.
